算法编程学习第1天——排序和二分

一、排序

1.快速排序

基于分治
从l到r
①确定分界点：q[l]，q[(l+r)/2]，q[r]，q[r]随机
②调整区间：第一个区间所有的数小于等于x，第二个区间的都大于等于x
③递归处理左右两段

②的一种方法：
一、开新数组a[]，b[]
二、遍历q[l到r]，如果q[i]<=x，则x放到a数组里；反之放到b数组（大于）
三：先把a[]放到q[]，再把b[]放到q[]
新思想：
左边一个指针i，右边一个指针j
刚开始一直向右移动i，直到指向的数大于等于x，i停
然后j往左移动，直到指向的数小于等于x，j停
直到分出区间
例题：x=3

	3	1	2	3	5
第0次	↑				↑
第1次	↑				↑	a[i]=3=x，不动
第2次	↑			↑		a[j]=5>x，j往左移动，两个3交换
第3次		↑i	↑j			交换完之后两个数往中间移动一位
第4次			↑j	↑i		a[i]=1<x，i往右移动，直到条件不满足（a[i]=3）
这样i左边，j右边都能保证数字相对应地小于、大于x

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n;
int q[N];
  
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
	if (l >= r) return;
	int x = q[l], i = l - 1, j = r + 1;
	while (i < j)
	{
		do i++; while (q[i] < x);
		do j--; while (q[j] > x);
		if (i < j) swap(q[i], q[j]);
	}
	quick_sort(q, l, j);
	quick_sort(q, j + 1, r);
}
  
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i+ = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
	quick_sort(q, 0, n - 1);
	for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", q[i]);
	return 0;
}

2.归并排序（O(nlogn)）

①确定分界点mid=(left+right)/2
②递归排序left、right
③归并——合二为一（O(n)）
两个指针
变成两个序列
第一个找到最小的，然后指针一和二进行比较，取最小值放到答案数组，等到一个指针到结尾为止
然后第二个指针继续移动，直到两个指针到末尾
例子：
1 3 5 7 9
↑
2 4 5 8 10
↑
res
1 3 5 7 9
↑
2 4 5 8 10
↑
res 1（第一行最小）
1 3 5 7 9
↑
2 4 5 8 10
↑
res 1 2（两个指针比较发现第二个指针更小，挪动第二个指针）
1 3 5 7 9
↑
2 4 5 8 10
↑
res 1 2 3（此时3更小，挪动）
当数相同时先挪动第一个序列
这里注意N不能过大不然会报错

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&q[i]);
	merge_sort(q,0,n-1);
	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",q[i]);
	return 0;
}

二、二分

1.整数二分

二分本质并不是单调性，是找边界
分成左边和右边
如果mid=(l+r+1)/2，check(mid)，真的话答案在[mid,r]，更新方式：l=mid，假的话在[l,mid-1]，更新方式：r=mid-1
如果mid=(l+r)/2，check(mid)，真的话答案在[l,mid]，更新方式：r=mid，假的话在[mid+1,r]，更新方式：r=mid+1
下面那个mid多了一个+1
下面两个模板区别是mid在左边还是在右边
根据更新方式选择哪种模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

例题 ：

输出：
3 4
5 5
-1 -1

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);
    
    while (m -- )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        
        if (q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else
        {
            cout << l << ' ';
            
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            
            cout << l << endl;
        }
    }
}

二分的时候保证区间里一定有答案

2.实数二分

不需要处理边界，所以很简单(1e-6认为很小)

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

例题：输入浮点数，求他的平方根。

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cin >> x;

    double l = 0, r = x;
    while (r - l > 1e-6)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (mid * mid >= x) r = mid;
        else l = mid;
    }

    printf("%lf\n", l);

    return 0;
}

1e-6，这个6至少要比要求的小数位数高2